ECUACIONES

DESIGUALDADES

Una desigualdad es una expresión matemática que contiene un signo de desigualdad. Los signos de desigualdad son:

≠    no es igual 

 <     menor que 

 >     mayor que 

≤    menor o igual que 

≥    mayor o igual que

  

De la definición de desigualdad, lo mismo que de la escala de los números algebraicos, se deducen algunas consecuencias, a saber:

1º Todo número positivo es mayor que cero

Ejemplo:

5 > 0 ; porque 5 – 0 = 5

2º Todo número negativo es menor que cero

Ejemplo:

–9 < 0 ; porque –9 –0 = –9

3º Si dos números son negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto;

Ejemplo:

–10 > –30; porque -10 – (–30) = –10 +30 = 20

Una desigualdad que contiene al menos una variable se llama inecuación.

Por ejemplo:

X + 3 < 7

(La punta del signo < siempre señala el menor)

Ejemplos: 

3 < 4,       4 > 3

¿Cómo resolvemos una inecuación? Para esto tenemos que conocer y entender las propiedades de las desigualdades.

Propiedades de las desigualdades

1. Una desigualdad no varía si se suma o resta la misma cantidad a ambos lados:

a < b            / ± c  (sumamos o restamos c a ambos lados)

a ± c < b ± c

Ejemplo:

2 + x  >  16          / – 2  (restamos 2 a ambos lados)

2 + x − 2 > 16 − 2

x  >  14

2. Una desigualdad no varía su sentido si se multiplica o divide por un número positivo:

a < b            / • c (c > 0) (c es positivo, mayor que cero)

a • c < b • c

a > b          / • c (c > 0) (c es positivo, mayor que cero)

a • c > b • c

Ejemplo 

3 ≤ 5 • x   / :5

3/5 ≤ x    esto es, todos los reales mayores o iguales que 3/5

3. Una desigualdad varía su sentido si se multiplica o divide por un número negativo:

a < b              / • c (c < 0) (c es negativo, menor que cero)

a • c > b • c

a > b             / • c (c < 0) (c es negativo, menor que cero)

a • c < b • c

Ejemplo:

15 – 3 • x ≥ 39                   / −15

− 3 • x ≥ 39 – 15           /: −3

x ≤ 24: (−3)

x ≤ − 8. Esto es, todos los reales menores o iguales que −8.

De manera recíproca, cuando la parte de la incógnita resulta negativa deben invertirse los signos a ambos lados y cambiar el sentido de la desigualdad, ya que no puede haber desigualdades con incógnita negativa.

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

 

Ecuaciones de segundo grado y una incógnita

Sabemos que una ecuación es una relación matemática entre números y letras. Normalmente se trabaja con ecuaciones en las que sólo hay una letra, llamada incógnita, que suele ser la x.

Resolver la ecuación consiste en encontrar un valor (o varios) que, al sustituirlo por la incógnita, haga que sea cierta la igualdad.

Ese valor es la solución de la ecuación.

Ejemplo: Resolver la ecuación    x − 1 = 0

El número que hace que esa ecuación sea cierta es el 1, ya que 1 – 1 = 0, por lo tanto, 1 es la solución de la ecuación.

Si en la ecuación la incógnita está elevada al cuadrado, decimos que es una ecuación de segundo grado (llamadas también ecuaciones cuadráticas), que se caracterizan porque pueden tener dos soluciones (aunque también una sola, e incluso ninguna).

Cualquier ecuación de segundo grado o cuadrática se puede expresar de la siguiente forma:

                                 ax² + bx + c = 0

Donde a, b y c son unos parámetros que habrá que sustituir por los números reales que corresponda en cada caso particular.

Solución de ecuaciones cuadráticas

Hemos visto que una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax² + bx + c = 0, donde  a, b, y c son números reales. 

  

Pero este tipo de ecuación puede presentarse de diferentes formas:

Ejemplos:

9x² + 6x + 10 = 0        a = 9, b = 6, c = 10

3x²  – 9x  + 0  = 0        a = 3, b = –9, c = 0  (el cero, la c, no se escribe, no está)

–6x² + 0x + 10 = 0       a = -6, b = 0, c = 10 (el cero equis, la b, no se escribe)

Para resolver la ecuación cuadrática de la forma ax² + bx + c = 0 (o cualquiera de las formas mostradas), puede usarse cualquiera de los siguientes métodos:  

  

Solución por factorización

En toda ecuación  cuadrática uno  de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero; entonces, cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse, tenemos que convertirlo en un producto de binomios.

Obtenido el producto de binomios, debemos buscar el valor de x de cada uno.

Para hacerlo igualamos a cero cada factor y se despeja para la variable. Igualamos a cero ya que sabemos que si un producto es igual a cero, uno de sus multiplicandos, o ambos, es igual a cero.

Ejemplos

1) Resolver

(x + 3)(2x − 1) = 9

Lo primero es igualar la ecuación a cero.

Para hacerlo, multiplicamos los binomios:

Ahora, pasamos el 9, con signo contrario, al primer miembro para igualar a cero:

Ahora podemos factorizar esta ecuación:

(2x − 3)(x + 4) = 0

Ahora podemos igualar a cero cada término del producto para resolver las incógnitas:

Si

2x − 3 = 0

2x = 3

Si

x + 4 = 0

x = −4

Esta misma ecuación pudo haberse presentado de varias formas:

(x + 3)(2x − 1) = 9

2x² + 5x − 12 = 0

2x² + 5x = 12

2x² − 12 = − 5x

En todos los casos la solución por factorización es la misma:

2) Halle las soluciones de

La ecuación ya está igualada a cero y solo hay que factorizar e igualar sus factores a cero y luego resolver en términos de x:

Ahora, si

x = 0

o si

x− 4 = 0

x = 4

Algunos ejercicios: Resolver cada ecuación por el método de factorización:

Soluciones:

Solución por completación de cuadrados

Se llama método de la completación de cuadrados porque se puede completar un cuadrado geométricamente, y porque en la ecuación cuadrática se pueden realizar operaciones algebraicas que la transforman en una ecuación del tipo:

(ax + b)² = n

en la cual el primer miembro de la ecuación (ax + b)², es el cuadrado de la suma de un binomio.

Partiendo de una ecuación del tipo

x² + bx + c = 0

por ejemplo, la ecuación

x² + 8x = 48, que también puede escribirse   x² + 8x − 48 = 0

Al primer miembro de la ecuación (x² + 8x) le falta un término para completar el cuadrado de la suma de un binomio del tipo

(ax + b)²

Que es lo mismo que

(ax + b) (ax + b)

Que es lo mismo que

(ax)² + 2axb + b²

En nuestro ejemplo

x² + 8x = 48, el 8 representa al doble del segundo número del binomio, por lo tanto, ese número debe ser obligadamente 8 dividido por 2 (8/2), que es igual a 4, y como en el cuadrado de la suma de un binomio ( a² + 2ab + b²) el tercer término corresponde al cuadrado del segundo término (4² = 16) amplificamos ambos miembros de la ecuación por 16, así tenemos

x² + 8x + 16 = 48 + 16

x² + 8x + 16 = 64

la cual, factorizando, podemos escribir como sigue:

(x + 4) (x + 4) = 64

Que es igual a

(x + 4)² = 64

Extraemos raíz cuadrada de ambos miembros y tenemos

 Nos queda

x + 4 = 8

Entonces

x = 8 − 4

x = 4

Se dice que "se completó un cuadrado" porque para el primer miembro de la ecuación se logró obtener la expresión (x + 4)², que es el cuadrado perfecto de un binomio.

Veamos otro ejemplo:

Partamos con la ecuación

x² + 6x − 16 = 0

Hacemos

x² + 6x = 16

Luego, a partir de la expresión x² + 6x (primer miembro de la ecuación) debemos obtener una expresión de la forma (ax + b)² (cuadrado de la suma de un binomio).

Para encontrar el término que falta hacemos 

(Para encontrar dicho término en cualquier ecuación siempre debemos dividir por  2 el valor real del segundo término y el resultado elevarlo al cuadrado).

Ahora, para obtener la expresión completa se suma 9 a ambos miembros de la ecuación:

x² + 6x = 16

x² + 6x + 9 = 16 + 9

x² + 6x  + 9 = 25

factorizamos, y queda

(x +3) (x + 3) = 25

(x + 3)² = 25

La expresión x² + 6x se ha completado para formar un cuadrado perfecto, en este caso (x + 3)², y así la ecuación se resuelve con facilidad:

Extraemos raíz cuadrada

, y queda

x + 3 = 5   y  x + 3 = −5

(pues  5² = 5  y también (−5)² = 5

Entonces

x = 5 − 3 

x = 2

Y

x = − 5 − 3

x = − 8

 La  ecuación 1 da  x = 2   y la ecuación 2 da  x = −8.

Otro  ejemplo para analizar y estudiar:

Resolver la ecuación: x² – 6x + 8 = 0

Veamos: Con los términos x² y –6x podemos formar el cuadrado de binomio (x – 3)² , pero nos faltaría el término igual a 9, por lo tanto, dejamos las equis (x) a la izquierda y pasamos el 8 a la derecha de la igualdad:

x² – 6x = − 8 

y sumamos 9 a ambos lados de la igualdad para que a la izquierda se forme el cuadrado de binomio:

¿Cómo encontramos el término que falta?, haciendo

x² – 6x = −8       /+9 (sumamos 9 en ambos miembros de la ecuación)

x² − 6x + 9 = − 8 + 9

(x – 3)² = 1

Extraemos las raíces cuadradas

y queda

x – 3 = 1    y   x − 3 = −1

Si

x – 3 = 1

x = 1 + 3

x = 4

Si

 x – 3 = −1

x = −1 + 3

x = 2

Por lo tanto  x₁ = 4 y  x₂ = 2

Debemos hacer notar que el método de completar cuadrados terminará en lo mismo que la fórmula general, porque es de este método de donde sale dicha fórmula, usada en el método que vemos a continuación.

Ver: PSU: Matematica; Pregunta 028_2010

Solución por la fórmula general

Existe una fórmula que permite resolver cualquier ecuación de segundo grado, que es la siguiente:

La fórmula genera dos respuestas: Una con el signo más (+) y otra con el signo menos (−)  antes de la raíz. Solucionar una ecuación de segundo grado se limita, entonces, a identificar las letras a, b y  c y sustituir sus valores en la fórmula.

La fórmula general para resolver una ecuación de segundo grado sirve para resolver cualquier ecuación de segundo grado, seacompleta o incompleta, y obtener buenos resultados tiene que ver con las técnicas de factorización.

Ejemplo:  

Resolver la ecuación  2x² + 3x − 5 = 0

Vemos claramente que a = 2,     b = 3   y     c = −5, así es que:

Ahora, tenemos que obtener las dos soluciones, con el + y con el − :

  y también      

Así es que las soluciones son .

Aquí debemos anotar algo muy importante:

En la fórmula para resolver las ecuaciones de segundo grado aparece la expresión . Esa raíz cuadrada sólo existirá cuando el radicando (b² − 4ac) sea positivo o cero.

El radicando b² – 4ac se denomina discriminante y se simboliza por Δ. El número de soluciones (llamadas también raíces)depende del signo de Δ y se puede determinar incluso antes de resolver la ecuación.

Entonces, estudiando el signo del discriminante (una vez resuelto), podemos saber el número de soluciones que posee:

Si Δ es positivo, la ecuación tiene dos soluciones.

Si Δ es negativo, la ecuación no tiene solución.

Si Δ es cero, la ecuación tiene una única solución.

En el ejemplo anterior el discriminante era Δ = 49, positivo, por eso la ecuación tenía dos soluciones.

Obtendremos dos soluciones, una cuando sumamos a − b la raíz y lo dividimos por 2a, y otra solución cuando restamos a − b la raíz y lo dividimos por 2a.

Trabajando con ecuaciones de segundo grado

Como lo dijimos al comienzo, cualquier ecuación de segundo grado puede, mediante transformaciones, expresarse en la forma  ax²+ bx + c = 0,  donde  a,  y  b  son los coeficientes de los términos  x²  y  x, respectivamente y  c es el término independiente.

Ecuación de segundo grado completa 

  

Una ecuación de segundo grado es completa cuando los tres coeficientes  a,  b,  y  c  son distintos de cero.

Entonces, la expresión de una ecuación de segundo grado completa es 

 ax² + bx + c = 0.

Ecuación de segundo grado incompleta

Una ecuación de segundo grado es incompleta cuando los términos  b  o  c,  o ambos, son cero.

(Si a = 0, la ecuación resultante sería  bx + c = 0,  que no es una ecuación de segundo grado.)

La expresión de una ecuación de segundo grado incompleta es:

ax² = 0;   si    b = 0    y    c = 0.

ax² + bx = 0;    si    c = 0.

ax² + c = 0;    si    b = 0.

Algunos ejemplos, con soluciones

1) Resolver: − 5x² + 13x + 6 = 0

Se identifican las letras, cuidando que la ecuación esté ordenada respecto a la x, de grado mayor a menor. Con esta condición tenemos: a = − 5;  b = 13;  c = 6.

Se aplica la fórmula:

Como la raíz buscada es 17 (el cuadrado de 17 es 289), se tiene entonces que:

Según esto, tendremos dos raíces diferentes, una usando el signo + y otra usando el signo −.

Llamaremos X₁ y X₂  a las dos soluciones, que serán:

Ambos valores de x satisfacen la ecuación, es decir, al sustituirlos en ella producen una identidad. Al procedimiento de sustituir para probar si los valores hallados satisfacen la ecuación se le denomina verficación.

Probando con x = 3. Resulta: −5 • (3)2 + 13 • (3) + 6 = −45 + 39 + 6 = 0, tal como se esperaba en el segundo miembro. 

Probando con ,  se tiene

Como ambas respuestas producen identidades, ahora es seguro que 3 y  son las raíces de − 5x² + 13x + 6 = 0

2.- Resolver: 6x − x² = 9

Hacemos los cambios necesarios para que la ecuación tenga la forma conocida. Trasponiendo y cambiando de lugar resulta:

− x² + 6x − 9 = 0. Ahora se identifican las letras:

a = −1 ;  b = 6 ;  c = −9 ; y se aplica la fórmula:

El discriminante (Δ)  es igual a cero, por lo cual se producen dos raíces iguales a 3, es decir, x₁ = x₂ = 3.

Sustituyendo los valores en la ecuación original, se verifica que: 6•3 − 32 = 18 − 9 = 9 con lo cual se ha comprobado la respuesta.

RACIONALIZACION

RACIONALIZACION

Tratándose de radicales, el proceso de racionalización consiste en eliminar las raíces que se encuentran en el denominador de una fracción.

Dependiendo de las operaciones involucradas dentro de ese denominador pueden presentarse diversos casos:

a) caso en que el denominador contenga una raíz cuadrada, sin adiciones ni sustracciones.

Ejemplo:

Racionalizar: 
Como regla general, amplificamos la fracción por el valor de este denominador, en este caso  , de la siguiente manera:

b) Caso en que el denominador contenga una raíz cuadrada, con adiciones o sustracciones.

Ejemplo: 

Racionalizar: 

Igual que en el caso anterior, amplificamos la fracción, ahora por , para formar en el denominador una suma por su diferencia (corresponde al conjugado, que es la misma expresión pero con signo contrario), con lo cual dejamos la expresión en:

c) Caso en que hay una raíz cúbica en el denominador, sin adiciones o sustracciones.

Ejemplo:

Racionalizar: 

En este caso amplificamos la fracción por , para dejar la expresión del siguiente modo:

Racionalizar fracciones con radicales en el denominador sirve, entre otras aplicaciones, para ordenar de mayor a menor (para comparar) dichas fracciones.

Ejemplo:

Ordenar de menor a mayor las siguientes fracciones:

De acuerdo a lo aprendido arriba, racionalizamos cada una de las fracciones:

Hecho esto, podemos ordenar de mayor a menor:

RACIONALIZACION DE RADICALES

Cuando tenemos fracciones con radicales en el denominador conviene obtener fracciones equivalentes pero que no tengan radicales en el denominador. A este proceso es a lo que se llama racionalización de radicales de los denominadores.

Según el tipo de radical o la forma de la expresión que aparece en el denominador, el proceso es diferente.

Se pueden dar varios casos:

1. Si el denominador contiene un solo término formado por una sola raíz cuadrada. En este caso basta multiplicar numerador y denominador por la misma raíz cuadrada.

Por ejemplo, si queremos racionalizar el denominador de la fracción , multiplicaremos numerador y denominador por 

Otro ejemplo. Racionalizar 

Si antes de racionalizar extraemos los factores que se puedan en el radical del denominador, tenemos:

Ahora basta multiplicar numerador y denominador por  para eliminar la raíz del denominador:

También se puede directamente multiplicar numerador y denominador por 

Y ahora extraemos factores de la raíz del numerador y simplificamos.

, como vemos da el mismo resultado.

2. Si el denominador de la fracción contiene dos términos en uno de los cuales o en los dos hay una raíz cuadrada, se multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador. O sea si es una suma se multiplica por la resta, y viceversa.

Por ejemplo, multiplicamos numerador y denominador por 

En el denominador siempre va a aparecer un producto de una suma por una diferencia, o sea una expresión del tipo 

Otro ejemplo: , ahora multiplicamos numerador y denominador por 

3. Si el denominador sólo tiene un término con una raíz de índice cualquiera, n, se multiplica numerador y denominador por otra raíz de índice n quecomplete una potencia de exponente n.

Por ejemplo: 

Factorizamos el radicando del denominador: , y como , vamos a multiplicar numerador y denominador por  para completar la potencia de 5

Otro ejemplo: 

Para que se elimine la raíz cuarta, la potencia tiene que estar elevada a 4, luego basta multiplicar por